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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

ECUACIONES MATRICIALES

Álgebra lineal · Bachillerato

Aprende a resolver ecuaciones del tipo \(AX=B\), \(XA=B\), \(AXB=C\), \(AX+BX=C\) y otras .... Teoría, ejemplos resueltos y herramienta interactiva.

Inversa de una matriz Operaciones con matrices Cálculo de determinantes

Definición

1. ¿Qué es una ecuación matricial?

Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz, habitualmente denominada \(X\). Las restantes matrices de la ecuación (cuyos valores son conocidos) se representan con otras letras mayúsculas.

El objetivo es encontrar la matriz \(X\) que satisface la ecuación. La herramienta de esta página resuelve todas las ecuaciones matriciales que pueden despejarse mediante el siguiente método:

  1. Pasar todos los sumandos con \(X\) al primer miembro y todos los demás al segundo.
  2. Extraer \(X\) como factor común por la izquierda o por la derecha (o ambas), obteniendo una ecuación de la forma \(L \cdot X \cdot R = B\).
  3. Multiplicar por las inversas de \(L\) y \(R\) (cuando existan), obteniendo \(X = L^{-1} \cdot B \cdot R^{-1}\).
Atención: el producto de matrices no es conmutativo (el orden importa):
1) si \(L\cdot X = B\), entonces \(X = L^{-1}\cdot B\) (no \(B \cdot L^{-1}\));
2) si \(X\cdot R = B\), entonces \(X = B\cdot R^{-1}\) (no \(R^{-1}\cdot B\)).

Condición necesaria

¿Cuándo existe solución?

La ecuación \(L\cdot X\cdot R = B\) tiene solución única cuando:

  • \(L\) es cuadrada e invertible (\(\det(L) \neq 0\)).
  • \(R\) es cuadrada e invertible (\(\det(R) \neq 0\)).

Si alguno de los factores no es invertible, el método no se puede aplicar. En ese caso, el sistema puede no tener solución o tener infinitas soluciones.

La herramienta detecta automáticamente si los factores son invertibles y avisa en caso contrario.

Tipos principales

2. Tipos de ecuaciones que resuelve la herramienta

A continuación se muestran los tipos más habituales. En todos los casos, las letras \(A, B, C, \ldots\) representan matrices cuadradas conocidas y \(X\) es la incógnita.

Tipo 1 — Un único sumando con X: se despeja aplicando la inversa directamente
1) \(\boldsymbol{AX=B} \Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B \Rightarrow IX=A^{-1}B \Rightarrow \boldsymbol{X=A^{-1}B}\)
2) \(\boldsymbol{XA=B} \Rightarrow XAA^{-1}=BA^{-1} \Rightarrow XI=BA^{-1} \Rightarrow \boldsymbol{X=BA^{-1}}\)
3) \(\boldsymbol{AXB=C} \Rightarrow A^{-1}AXB\cdot B^{-1}=A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow IXI=A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow \boldsymbol{X=A^{-1}CB^{-1}}\)
Tipo 2 — Varios sumandos que acaban todos igual desde la matriz X: Se extrae factor común a la izquierda
1) \(\boldsymbol{AX+BX=C} \Rightarrow (A+B)X=C \Rightarrow \boldsymbol{X=(A+B)^{-1}C}\)
2) \(\boldsymbol{AX-BX+CX=D} \Rightarrow (A-B+C)X=D \Rightarrow \boldsymbol{X=(A-B+C)^{-1}D}\)
3) \(\boldsymbol{AXC+BXC=D} \Rightarrow (A+B)XC=D \Rightarrow \boldsymbol{X=(A+B)^{-1}DC^{-1}}\)
Tipo 3 — Varios sumandos que empiezan todos igual hasta la matriz X: Se extrae factor común a la derecha
1) \(\boldsymbol{XA+XB=C} \Rightarrow X(A+B)=C \Rightarrow \boldsymbol{X=C(A+B)^{-1}}\)
2) \(\boldsymbol{AXB+AXC=D} \Rightarrow AX(B+C)=D \Rightarrow \boldsymbol{X=A^{-1}D(B+C)^{-1}}\)
Tipo 4 — X aparece en ambos miembros: se traslada al primer miembro y se factoriza
1) \(\boldsymbol{AX+B=CX+D} \Rightarrow (A-C)X=D-B \Rightarrow \boldsymbol{X=(A-C)^{-1}(D-B)}\)

La herramienta detecta automáticamente qué estrategia de factorización aplicar e informa del proceso completo.

Ejemplo 1 — Tipo AX = B

Ecuación con un único sumando en X por la izquierda

Resolver \(AX = B\) con:

\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}\]

Solución:

Paso 1: Se intenta despejar la matriz incógnita \(X\).

\[AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow IX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B\]

Paso 2: Se calculan las matrices que se necesiten, es decir, las que aparecen en el segundo miembro de la ecuación despejada.

\[A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^t=\frac{1}{2-1}\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)^t=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\]

Paso 3: Se sustituyen en la expresión despejada y se calcula paso a paso.

\[X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\1&0\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[X=\begin{pmatrix}2&2\\1&0\end{pmatrix}\]

Ejemplo 2 — Tipo AX + BX = C

Factorización de X con factor común por la derecha

Resolver \(AX + BX = C\) con:

\[A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}4&3\\2&3\end{pmatrix}\]

Solución:

Paso 1: Se intenta despejar la matriz incógnita \(X\).

\[AX+BX=C\Rightarrow (A+B)X=C\Rightarrow (A+B)^{-1}(A+B)X=(A+B)^{-1}C\Rightarrow X=(A+B)^{-1}C\]

Paso 2: Se calculan las matrices que se necesiten, es decir, las que aparecen en el segundo miembro de la ecuación despejada.

\[A+B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\]
\[(A+B)^{-1}=\frac{1}{\left|A+B\right|}\left[\operatorname{Adj}(A+B)\right]^t=\frac{1}{2-1}\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)^t=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\]

Paso 3: Se sustituyen en la expresión despejada y se calcula paso a paso.

\[X=(A+B)^{-1}C=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&3\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2&3-3\\-4+4&-3+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[X=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\]

Ejemplo 3 — Tipo AXB = C

Factor izquierdo y derecho distintos de la identidad

Resolver \(AXB = C\) con:

\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}3&5\\2&3\end{pmatrix}\]

Solución:

Paso 1: Se intenta despejar la matriz incógnita \(X\).

\[AXB=C\Rightarrow A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\Rightarrow IXI=A^{-1}CB^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\]

Paso 2: Se calculan las matrices que se necesiten, es decir, las que aparecen en el segundo miembro de la ecuación despejada.

\[A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^t=\frac{1}{2-1}\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)^t=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\]
\[B^{-1}=\frac{1}{\left|B\right|}\left[\operatorname{Adj}(B)\right]^t=\frac{1}{1-0}\left(\begin{matrix}1&0\\-1&1\end{matrix}\right)^t=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\]

Paso 3: Se sustituyen en la expresión despejada y se calcula paso a paso.

\[X=A^{-1}CB^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[X=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\]

Ejemplo 4 — Orden 3x3 · Tipo AX + B = C

Ecuación con término independiente

Resolver \(AX + B = C\) con:

\[A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-1&2\\3&0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}3&2&4\\3&0&1\\3&6&4\end{pmatrix}\]

Solución:

Paso 1: Se intenta despejar la matriz incógnita \(X\).

\[AX+B=C\Rightarrow AX=C-B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}(C-B)\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)\]

Paso 2: Se calculan las matrices que se necesiten, es decir, las que aparecen en el segundo miembro de la ecuación despejada.

\[C-B=\begin{pmatrix}3&2&4\\3&0&1\\3&6&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-1&2\\3&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&4\\3&1&-1\\0&6&3\end{pmatrix}\]
\[A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left[\operatorname{Adj}(A)\right]^t=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}3&0&0\\0&6&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac13\end{pmatrix}\]

Paso 3: Se sustituyen en la expresión despejada y se calcula paso a paso.

\[X=A^{-1}(C-B)=\begin{pmatrix}\frac12&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&4\\3&1&-1\\0&6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\0&2&1\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[X=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\0&2&1\end{pmatrix}\]

Ejemplo 5 — Orden 3x3 · Tipo AXB = AXC + D

Factor común por la izquierda y diferencia por la derecha

Resolver \(AXB = AXC + D\) con:

\[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&6\\-1&2&7\end{pmatrix}\]

Solución:

Paso 1: Se intenta despejar la matriz incógnita \(X\).

\[AXB=AXC+D\Rightarrow AXB-AXC=D\Rightarrow AX(B-C)=D\]
\[A^{-1}AX(B-C)(B-C)^{-1}=A^{-1}D(B-C)^{-1}\Rightarrow IXI=A^{-1}D(B-C)^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}D(B-C)^{-1}\]

Paso 2: Se calculan las matrices que se necesiten, es decir, las que aparecen en el segundo miembro de la ecuación despejada.

\[B-C=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\]
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\2&-1&1\end{pmatrix},\quad (B-C)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Paso 3: Se sustituyen en la expresión despejada y se calcula paso a paso.

\[X=A^{-1}D(B-C)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\2&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&6\\-1&2&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\]
\[X=\begin{pmatrix}1&1&2\\-1&0&2\\0&2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}\]

La solución es:

\[X=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}\]

Errores frecuentes

Cuidado con…

  • Invertir el orden al multiplicar. Si \(AX=B\), entonces \(X=A^{-1}B\), no \(BA^{-1}\). El orden cambia el resultado.
  • Pensar que \((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\). La inversa de un producto se invierte: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
  • No comprobar la invertibilidad. Si el factor es singular (det = 0), no existe la inversa y el método no es aplicable.
  • Confundir los factores. En \(AXB+AXC=D\), el factor común es \(A\) por la izquierda y el resultado es \(X(B+C)\) por la derecha: \(AX(B+C)=D\).
  • Creer que toda ecuación matricial se puede resolver así. Solo funciona cuando todos los sumandos con \(X\) comparten factor por la izquierda o por la derecha.

Preguntas frecuentes

FAQ

  • ¿Qué ocurre si X aparece en los dos miembros? Se pasan todos los sumandos con X al primero: si la ecuación es \(AX+B=CX+D\), se obtiene \((A-C)X=D-B\).
  • ¿Puede haber más de una solución? Si los factores son invertibles, la solución es única. Si alguno es singular, pueden existir infinitas o ninguna.
  • ¿Las matrices tienen que ser cuadradas? Para que la inversa exista, sí. La herramienta trabaja con matrices cuadradas \(n\times n\).
  • ¿Qué tipo de ecuaciones NO resuelve esta herramienta? Las ecuaciones de Sylvester del tipo \(AX+XB=C\), donde los factores izquierdo y derecho de X difieren en cada sumando.
  • ¿Se pueden usar fracciones en las matrices? Sí. Introduce los valores como enteros, decimales o fracciones \(a/b\).

¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva: introduce la ecuación en texto (ej. AX+BX=C), luego los valores de cada matriz, y trabaja para obtener la resolución completa paso a paso.

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