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Matematikal ESO · Bachillerato IR A LA HERRAMIENTA →

SISTEMAS CON UN PARÁMETRO
Teorema de Rouché-Frobenius

Álgebra lineal · Bachillerato

Aprende a discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales que contienen un parámetro usando el teorema de Rouché-Frobenius. El tipo del sistema (compatible/incompatible) depende del valor del parámetro, por lo que el análisis se realiza caso a caso.

Aviso: solo se consideran valores racionales del parámetro. No irracionales o imaginarios.

Rouché sin parámetro Parámetro por Gauss Rango por menores

Concepto fundamental

1. Sistemas con parámetro y Rouché-Frobenius

Un sistema con parámetro es aquel en el que uno o varios coeficientes dependen de un valor real desconocido, habitualmente denotado \(a\), \(k\) o \(\lambda\). El tipo del sistema depende del valor que tome el parámetro:

\[ \text{rg}(A) = \text{rg}(A\,|\,b) \iff \text{Sistema compatible} \]

Los determinantes de los menores de \(A\) y \((A\,|\,b)\) son funciones del parámetro. Para ciertos valores especiales (llamados valores críticos), el rango puede cambiar, alterando la clasificación del sistema.

rg(A)rg(A|b)vs. nTipo
\(r\)\(r'\neq r\)—Incompatible
\(r\)\(r'=r\)\(r=n\)Compatible Determinado
\(r\)\(r'=r\)\(r<n\)Compatible Indeterminado

Para cada valor crítico hay que repetir el análisis: los rangos pueden cambiar respecto al caso general.

Método paso a paso

Cómo proceder

  1. Escribe \(A\) y \((A|b)\) con el parámetro.
  2. Calcula menores de \(A\) simbólicamente. Resuelve \(\det = 0\) para encontrar los valores críticos.
  3. Repite el cálculo de rango para \((A|b)\).
  4. Caso general: parámetro ≠ valores críticos — clasifica y resuelve.
  5. Casos particulares: sustituye cada valor crítico y reclasifica.

Clave del método

2. Valores críticos del parámetro

Un valor crítico es un valor del parámetro que anula algún determinante relevante, haciendo que el rango de \(A\) o de \((A|b)\) baje respecto al valor máximo de los órdenes de los menores que se pueden formar con la matriz.

Para encontrarlos:

  1. Calcula \(\det(M)\) donde \(M\) es un menor de orden máximo.
  2. Si el determinante depende del parámetro, resuélvelo: \(\det(M) = 0\).
  3. Las soluciones son los valores críticos.
  4. Para cada uno, sustituye y recalcula el rango de \(A\) y \((A|b)\).

El caso general corresponde a todos los valores que no son críticos: en él el rango es máximo (igual al obtenido en el determinante no nulo).

Esquema de análisis

3. Análisis completo

Para un sistema con parámetro \(a\), tras encontrar los valores críticos \(a_1, a_2, \ldots\), el análisis queda:

\[ \begin{array}{l|l|l|l} \textbf{Caso} & \textbf{rg}(A) & \textbf{rg}(A|b) & \textbf{Tipo} \\\hline a\neq a_1,a_2,\ldots & r_1 & r_1' & \text{según tabla} \\ a=a_1 & r_2 & r_2' & \text{según tabla} \\ a=a_2 & r_3 & r_3' & \text{según tabla} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \]

Para cada caso compatible, se obtiene la solución correspondiente: única (Cramer) o paramétrica (incógnitas libres).

Ejemplo 1 — Sistema 2×2

Análisis completo con un valor crítico

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y = 1 \\ &ax + y = a \end{aligned}\right. \qquad a \in \mathbb{R} \]

Matrices:

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\a&1\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\a&1&a\end{array}\right) \]

Rango de \(A\): Calculamos el único menor de orden 2 (el determinante de \(A\)):

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&1\\a&1\end{vmatrix}=1-a \]

Se anula cuando \(1-a=0\), es decir, \(a=1\) es el valor crítico.

Caso general \(a\neq 1\): \(\det(A)=1-a\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=2=n\). El mismo menor está en \((A|b)\), así que \(\text{rg}(A|b)=2\). Sistema Compatible Determinado.

\[ x=\frac{\begin{vmatrix}1&1\\a&1\end{vmatrix}}{\det(A)}=\frac{1-a}{1-a}=1,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&1\\a&a\end{vmatrix}}{1-a}=\frac{0}{1-a}=0 \]\[ \text{Solución única: } x=1,\; y=0 \quad (a\neq 1) \]

Caso particular \(a=1\):

\[ A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\1&1&1\end{array}\right) \]

Las dos filas de \(A\) son iguales: \(\det(A)=0\). El elemento \(a_{11}=1\neq 0\Rightarrow\text{rg}(A)=1\). La segunda fila de \((A|b)\) también es igual a la primera: \(\text{rg}(A|b)=1\).

\(\text{rg}(A)=\text{rg}(A|b)=1<n=2\) → Compatible Indeterminado con 1 parámetro libre.

\[x=1-t,\; y=t,\qquad (t\in\mathbb{R}) \]

Ejemplo 2 — Sistema 3×3

Un valor crítico con análisis completo

\[ \left\{\begin{aligned} &x + y + z = 1\\ &x + ay + z = 1\\ &x + y + az = 1 \end{aligned}\right. \qquad a\in\mathbb{R} \]

Rango de \(A\):

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2-2a+1=(a-1)^2 \]

El único valor crítico es \(a=1\), porque \(\det(A)=0\) exactamente en ese valor.

Casorg(A)rg(A|b)Número incógnitasTipo
\(a\neq 1\)333Compatible Determinado
\(a=1\)113Compatible Indeterminado (dos parámetros libres)

1) Para \(a\neq 1\): el sistema es compatible determinado. Aplicando la regla de Cramer, las incógnitas se obtienen como

\[x=\frac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}}=\frac{(a-1)^2}{(a-1)^2}=1,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}}=\frac{0}{(a-1)^2}=0,\qquad z=\frac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}}=\frac{0}{(a-1)^2}=0\]

2) Para \(a=1\): el sistema es compatible indeterminado y las soluciones son:

\[\begin{cases}x=1-t-s\\y=t\\z=s\end{cases}\qquad (t,s\in\mathbb{R})\]

Ejercicios propuestos

Practica la discusión con parámetro usando el método de Rouché-Frobenius.

1 1 valor crítico Nivel básico · 2×2
Discute según \(a\in\mathbb{R}\): \(\left\{\begin{aligned}&2x+ay=4\\&x+y=2\end{aligned}\right.\)

1 Matrices

Para aplicar Rouché-Frobenius escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

\[ A=\begin{pmatrix}2&a\\1&1\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}2&a&4\\1&1&2\end{array}\right) \]

2 Obtención de los valores críticos

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}2&a\\1&1\end{vmatrix}=2-a \]\[ 2-a=0\Rightarrow a=2 \]
Valor crítico: \(a=2\). Por tanto, se estudian dos casos: \(a\neq2\) y \(a=2\).

3 Caso general \(a\neq 2\)

Como \(\det(A)=2-a\neq0\), la matriz \(A\) tiene rango 2. Además, el mismo menor aparece en la ampliada.

\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)=2=n \Rightarrow \text{Sistema compatible determinado} \]

La solución única se calcula mediante la regla de Cramer:

\[ x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)} =\frac{\begin{vmatrix}4&a\\2&1\end{vmatrix}}{2-a} =\frac{4-2a}{2-a} =\frac{2(2-a)}{2-a}=2 \]\[ y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)} =\frac{\begin{vmatrix}2&4\\1&2\end{vmatrix}}{2-a} =\frac{0}{2-a}=0 \]
Solución única: \(x=2,\;y=0\quad(a\neq2)\)

4 Caso crítico \(a=2\)

Sustituimos \(a=2\) en las matrices:

\[ A=\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}2&2&4\\1&1&2\end{array}\right) \]

La primera fila es el doble de la segunda, también en la matriz ampliada. Nos queda el sistema equivalente:

\[ A\sim\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix},\qquad (A|b)\sim\left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\end{array}\right), \qquad x+y=2 \]
\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)=1<n=2 \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado} \]

Dejamos \(y\) como parámetro libre:

\[ \begin{cases} x=2-t\\ y=t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R} \]
Infinitas soluciones: \(x=2-t,\;y=t\quad(t\in\mathbb{R})\)
2 Incompatible para un valor Nivel básico · 2×2
Discute según \(k\): \(\left\{\begin{aligned}&x+2y=3\\&kx+4y=k\end{aligned}\right.\)

1 Matrices

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\k&4\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\k&4&k\end{array}\right) \]

2 Obtención de los valores críticos

\[ \det(A)=\begin{vmatrix}1&2\\k&4\end{vmatrix}=4-2k \]\[ 4-2k=0\Rightarrow k=2 \]
Valor crítico: \(k=2\). Estudiamos \(k\neq2\) y \(k=2\).

3 Caso general \(k\neq 2\)

\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)=2=n \Rightarrow \text{Sistema compatible determinado} \]

Aplicamos la regla de Cramer:

\[ x=\frac{\begin{vmatrix}3&2\\k&4\end{vmatrix}}{4-2k} =\frac{12-2k}{4-2k} =\frac{6-k}{2-k} \]\[ y=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\k&k\end{vmatrix}}{4-2k} =\frac{k-3k}{4-2k} =\frac{k}{k-2} \]
Solución única: \(x=\dfrac{6-k}{2-k},\;y=\dfrac{k}{k-2}\quad(k\neq2)\)

4 Caso crítico \(k=2\)

Sustituimos \(k=2\):

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&2&3\\2&4&2\end{array}\right) \]

En \(A\) las filas son proporcionales, luego \(\operatorname{rg}(A)=1\). En cambio, en la ampliada aparece un menor no nulo:

\[ \begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}=2-6=-4\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A|b)=2 \]
\[ \operatorname{rg}(A)=1\neq2=\operatorname{rg}(A|b) \Rightarrow \text{Sistema incompatible} \]
Sin solución para \(k=2\)
3 Tres casos distintos Nivel medio · 3×3
Discute según \(a\): \(\left\{\begin{aligned}&x+y+z=3\\&x+2y+az=4\\&x+4y+a^2z=6\end{aligned}\right.\)

1 Matrices

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 1&2&a&4\\ 1&4&a^2&6 \end{array}\right) \]

2 Obtención de los valores críticos

\[ \det(A)= \begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&a\\1&4&a^2\end{vmatrix} =a^2-3a+2=(a-1)(a-2) \]
Valores críticos: \(a=1\) y \(a=2\). Estudiamos el caso general y ambos casos críticos.

3 Caso general \(a\neq1,\;a\neq2\)

\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)=3=n \Rightarrow \text{Sistema compatible determinado} \]

Calculamos la solución única mediante la regla de Cramer:

\[ x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)} =\frac{\begin{vmatrix}3&1&1\\4&2&a\\6&4&a^2\end{vmatrix}}{\det(A)} =\frac{2(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)} =2 \]\[ y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)} =\frac{\begin{vmatrix}1&3&1\\1&4&a\\1&6&a^2\end{vmatrix}}{\det(A)} =\frac{(a-1)(a-2)}{(a-1)(a-2)} =1 \]\[ z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)} =\frac{\begin{vmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&4&6\end{vmatrix}}{\det(A)} =\frac{0}{(a-1)(a-2)} =0 \]
Solución única: \(x=2,\;y=1,\;z=0\quad(a\neq1,\;a\neq2)\)

4 Caso crítico \(a=1\)

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&4&1\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 1&2&1&4\\ 1&4&1&6 \end{array}\right) \]

Hay un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo:

\[ \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2 \]
\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)=2<n=3 \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado} \]

Dejamos \(z=t\) y resolvemos el subsistema en \(x,y\) con Cramer:

\[ \begin{cases} x+y=3-t\\ x+2y=4-t \end{cases} \qquad A_0=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\quad \det(A_0)=1 \]
\[ x=\frac{\begin{vmatrix}3-t&1\\4-t&2\end{vmatrix}}{1}=2-t,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&3-t\\1&4-t\end{vmatrix}}{1}=1 \]
\[ \begin{cases} x=2-t\\ y=1\\ z=t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R} \]
Infinitas soluciones: \(x=2-t,\;y=1,\;z=t\quad(t\in\mathbb{R})\)

5 Caso crítico \(a=2\)

\[ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&4&4\end{pmatrix},\qquad (A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&3\\ 1&2&2&4\\ 1&4&4&6 \end{array}\right) \]

En \(A\), las columnas segunda y tercera coinciden, y existe un menor de orden 2 no nulo; por tanto \(\operatorname{rg}(A)=2\).

En la ampliada también se tiene rango 2, porque la tercera ecuación es combinación de las dos primeras:

\[ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A|b)=2<n=3 \Rightarrow \text{Sistema compatible indeterminado} \]

Dejamos \(z=t\) y resolvemos el subsistema en \(x,y\) con Cramer:

\[ \begin{cases} x+y=3-t\\ x+2y=4-2t \end{cases} \qquad A_0=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\quad \det(A_0)=1 \]
\[ x=\frac{\begin{vmatrix}3-t&1\\4-2t&2\end{vmatrix}}{1}=2,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&3-t\\1&4-2t\end{vmatrix}}{1}=1-t \]
\[ \begin{cases} x=2\\ y=1-t\\ z=t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R} \]
Infinitas soluciones: \(x=2,\;y=1-t,\;z=t\quad(t\in\mathbb{R})\)

Usa la herramienta interactiva para practicar con tu propio sistema con parámetro: introduce las dimensiones, el nombre del parámetro y los coeficientes algebraicos, calcula los menores simbólicamente y estudia cada caso.

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