OPERACIONES CON MATRICES Suma, producto, inversa y traspuesta
Esta herramienta permite trabajar con matrices y resolver cálculos de dos formas principales:
Operaciones directas
Se introduce la operación y se puede obtener el resultado automáticamente o ir resolviéndolo desde la zona de trabajo del usuario.
Operaciones combinadas
La página puede simplificar y resolver expresiones algebraicas matriciales, mostrando el resultado final o los pasos intermedios.
Qué son las operaciones con matrices
Las operaciones con matrices permiten trabajar de forma ordenada con tablas rectangulares de números o expresiones. En álgebra lineal son fundamentales para estudiar sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones lineales, determinantes, rangos y muchos otros contenidos habituales en Bachillerato y en cursos iniciales de universidad.
No todas las operaciones matriciales se realizan del mismo modo ni están siempre definidas. Algunas, como la suma y la resta, solo pueden hacerse entre matrices del mismo orden. Otras, como el producto de matrices, dependen del número de filas y columnas de las matrices implicadas. También existen operaciones propias de una sola matriz, como la traspuesta, la inversa o el cálculo de potencias.
Esta página reúne una herramienta para practicar las operaciones más habituales con matrices y, además, ofrece una introducción teórica para recordar qué significa cada operación, en qué casos puede aplicarse y qué precauciones conviene tener al usarla.
Operaciones entre matrices
Suma, resta y producto de matrices, siempre que se cumplan las condiciones necesarias de dimensiones.
Operaciones sobre una matriz
Producto por un número, traspuesta, inversa y potencias, con sus condiciones de existencia correspondientes.
Propiedades básicas de las operaciones con matrices
La suma y la resta de matrices se realizan elemento a elemento y exigen que ambas matrices tengan el mismo número de filas y de columnas.
El producto por un número se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por ese número.
El producto de matrices solo está definido cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda.
En general, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, normalmente \(AB\neq BA\).
La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas.
Una matriz solo tiene inversa si es cuadrada y regular, es decir, si su determinante es distinto de cero.
Las potencias de una matriz solo tienen sentido cuando la matriz es cuadrada.
En expresiones con varias matrices, el uso correcto de paréntesis y el orden de las operaciones puede cambiar completamente el resultado.
Definiciones y propiedades detalladas
Operaciones
Suma.
Solo está definida entre matrices del mismo orden \(m\times n\). Se realiza elemento a elemento. \((A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)Propiedades1) \(A+B=B+A\)2) \((A+B)+C=A+(B+C)\)
Resta.
Solo está definida entre matrices del mismo orden \(m\times n\). Se realiza elemento a elemento. \((A-B)_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\)
Producto por un escalar.
Se multiplica cada elemento de la matriz por el número. \((kA)_{ij}=k\cdot a_{ij}\)Propiedades\(k(A+B)=kA+kB\)
Producto de matrices.
El producto \(A\cdot B\) solo está definido si el número de columnas de \(A\) coincide con el número de filas de \(B\). Si \(A\) es \(m\times p\) y \(B\) es \(p\times n\), el resultado es \(m\times n\). \((AB)_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}a_{ik}\cdot b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}\)Propiedades1) No conmutativo: en general \(AB\neq BA\).2) Asociativo: \((AB)C=A(BC)\).3) Distributivo: \(A(B+C)=AB+AC\) y \((A+B)C=AC+BC\).4) Divisores de cero: pueden existir matrices \(A\neq 0\) y \(B\neq 0\) tales que \(AB=0\).
Traspuesta.
La traspuesta de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es la matriz \(A^t\) de orden \(n\times m\) que se obtiene cambiando filas por columnas. \((A^t)_{ij}=a_{ji}\)Propiedades1) \((A^t)^t=A\)2) \((A+B)^t=A^t+B^t\)3) \((AB)^t=B^t A^t\)
Inversa.
Una matriz cuadrada \(A\) tiene inversa \(A^{-1}\) si y solo si \(\det(A)\neq 0\). \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\)La inversa se calcula mediante el determinante y la traspuesta de la matriz de cofactores (adjunta), donde \(|A|\) denota el determinante de \(A\):\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot \left(\text{Adj}(A)\right)^t\)Propiedades1) \((A^{-1})^{-1}=A\)2) \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)3) \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
Potencias.
Solo tienen sentido para matrices cuadradas. \(A^n=A\cdot A\cdots A\) (\(n\) veces),\(\quad A^0=I\),\(\quad A^{-n}=(A^{-1})^n\)Propiedades1) \(A^m\cdot A^n=A^{m+n}\)2) En general \((AB)^n\neq A^n B^n\)
Condiciones de existencia
Cuándo está definida cada operación
Suma / resta: \(A\) y \(B\) deben ser del mismo orden \(m\times n\).
Producto \(A\cdot B\): columnas de \(A\) = filas de \(B\). Si \(A\) es \(m\times p\) y \(B\) es \(p\times n\), el resultado es \(m\times n\).
Traspuesta: siempre definida para cualquier matriz.
Inversa: solo para matrices cuadradas con \(\det(A)\neq 0\).
Potencias: solo para matrices cuadradas.
Ejemplos rápidos
Suma de matrices
Sean \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & -3\\ 2 & 1 & -3\end{bmatrix}\) y \(B=\begin{bmatrix}1 & -2 & -2\\ 3 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0\end{bmatrix}\). La suma se obtiene sumando elemento a elemento.
Si \(C=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) y \(D=\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}\), entonces el producto \(CD\) se calcula combinando filas de la primera matriz con columnas de la segunda.
Si \(A=\begin{bmatrix}2&1\\5&3\end{bmatrix}\), su determinante es \(\det(A)=2\cdot3-1\cdot5=1\neq0\), por lo que existe la inversa. Para matrices 2×2 se aplica la fórmula directa: se intercambian los elementos de la diagonal y se cambian de signo los de la antidiagonal, dividiendo por el determinante.
Para matrices de orden mayor, se utiliza la fórmula general basada en la matriz adjunta. Sea \(A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&2\end{bmatrix}\). El procedimiento tiene tres pasos: calcular el determinante, obtener la matriz de cofactores y trasponer dicha matriz para formar la adjunta.
Paso 2. Matriz de cofactores. Cada cofactor \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\), donde \(M_{ij}\) es el menor complementario: el determinante de la submatriz 2×2 que queda al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). La matriz de signos \((-1)^{i+j}\) es \(\begin{bmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{bmatrix}\).
La herramienta calcula automáticamente la inversa de cualquier orden. Para matrices 3×3 o mayores, el método de Gauss-Jordan es más eficiente en la práctica. Puedes profundizar en el cálculo de determinantes y en la inversa por el método de Gauss-Jordan en sus páginas correspondientes.
Potencia de una matriz
Si \(A=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\), las potencias se calculan multiplicando la matriz por sí misma sucesivamente.
Indica cuántas matrices vas a introducir y valida con ENTER o con TAB.
Cambia, si lo deseas, el nombre de las matrices, que inicialmente aparecen como A, B, ....
Crea cada matriz introduciendo sus dimensiones y sus elementos. Si algún dato no es válido aparecerá un aviso y deberá volver a introducirse.
En las opciones se elige la operación que se desea realizar y en la zona de trabajo del usuario se muestran los resultados.
En algunas operaciones combinadas se puede optar entre mostrar directamente el resultado o ir viendo pasos intermedios.
Opciones disponibles en la aplicación
Opción 1 — Sumar dos matrices.
Opción 2 — Restar dos matrices.
Opción 3 — Multiplicar dos matrices.
Opción 4 — Multiplicar un número por una matriz.
Opción 5 — Obtener la traspuesta de una matriz.
Opción 6 — Obtener la inversa de una matriz.
Opción 7 — Obtener una potencia de una matriz.
Opción 8 — Operaciones combinadas: mostrar paso a paso. Se introduce una expresión algebraica con varias matrices (por ejemplo, \(AB + C^t\)) y la herramienta muestra el resultado de cada operación intermedia pulsando un botón, de modo que se puede seguir el proceso a la velocidad deseada.
Opción 9 — Operaciones combinadas: mostrar pasos de forma automática. Igual que la opción 8, pero los pasos intermedios aparecen de forma consecutiva sin necesidad de intervención: útil para revisar una solución completa de un vistazo.
Opción 10 — Operaciones combinadas: mediante pasos realizados por el usuario. La herramienta no resuelve la expresión directamente; en cambio, el usuario indica qué operación quiere aplicar en cada momento y la herramienta la ejecuta. Permite practicar la resolución tomando las propias decisiones sobre el orden de las operaciones.
Formatos admitidos
En los elementos de las matrices se admiten:
Números enteros y decimales.
Fracciones del tipo a/b, por ejemplo 2/3.
Expresiones algebraicas con las matrices introducidas y con la matriz identidad I.
Para introducir la traspuesta de una matriz se utiliza la notación A^t y para la inversa A^(-1). Conviene mantener una notación consistente al introducir los datos para evitar errores en la interpretación de la expresión.
Estructura de la página de trabajo
Introducción de datos
En esta zona se crean las matrices que se van a utilizar y se fijan sus dimensiones y elementos.
Zona de operaciones y resultados
Las operaciones propuestas por la herramienta.
Las operaciones realizadas por el usuario y sus resultados.
En algunos casos, los pasos intermedios necesarios para llegar al resultado final.
Ejercicios propuestos
Practica las operaciones básicas con matrices. Comprueba los resultados usando la herramienta.
Sea \(A=\left(\begin{matrix}1 & 2 & -1\\3 & 0 & 4\end{matrix}\right)\). Calcula \(A + A^t\) si es posible. Si no lo es, explica por qué y calcula \(A^t + A^t\) en su lugar.
Análisis de dimensiones
\(A\) es \(2\times 3\) y \(A^t\) es \(3\times 2\). La suma no está definida porque tienen distinto orden.
Sea \(A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\). Calcula \((A^2)^t\) de dos formas: directamente y usando la propiedad \((AB)^t=B^tA^t\). Verifica que coinciden.
ESPACIO DE OPERACIONES PROPUESTAS Y EFECTUADAS POR EL USUARIO/A
Errores típicos
Intentar sumar o restar matrices con dimensiones distintas.
Intentar multiplicar matrices cuando las dimensiones no son compatibles: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
Olvidar que el producto de matrices no es conmutativo: puede estar definido AB y no estar definido BA, o bien ambos productos pueden existir y ser distintos.
Confundir la matriz traspuesta con la matriz inversa.
Pensar que toda matriz cuadrada tiene inversa: para que exista, la matriz debe ser regular.
Olvidar que las potencias de matrices solo tienen sentido para matrices cuadradas.
Tener especial cuidado con los paréntesis en expresiones algebraicas matriciales: su posición puede cambiar el resultado final.
Olvidar validar los datos con ENTER o con TAB.
Preguntas frecuentes
¿Puede calcularse \(A^2\) si \(A\) no es cuadrada? No. Las potencias solo están definidas para matrices cuadradas.
¿Qué es la matriz identidad? Es la matriz cuadrada con unos en la diagonal y ceros en el resto. Cumple \(AI=IA=A\).
¿Cuándo existe la inversa de una suma? \((A+B)^{-1}\) no tiene una fórmula simple. No es igual a \(A^{-1}+B^{-1}\).
¿Es siempre posible multiplicar dos matrices? No. El producto \(AB\) solo está definido si el número de columnas de \(A\) coincide con el número de filas de \(B\).
¿Qué ocurre si el determinante de una matriz es cero? La matriz no tiene inversa. Se llama matriz singular.
¿La traspuesta de la traspuesta devuelve la matriz original? Sí. Se cumple siempre que \((A^t)^t=A\).
¿Puede \(AB=0\) sin que \(A=0\) o \(B=0\)? Sí. El producto de dos matrices no nulas puede ser la matriz nula. Por ejemplo: \(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\). Esto implica que en matrices no se puede "cancelar": \(AB=AC\) con \(A\neq 0\) no implica \(B=C\).
¿Cómo se introduce la matriz identidad en la aplicación? Usando la letra I.
¿Quieres practicar? Usa la herramienta interactiva para introducir tus propias matrices y realizar operaciones con ellas paso a paso o de forma automática.