Todo lo que necesitas saber sobre las operaciones básicas con matrices:
Suma, resta y producto por un escalar.
Cómo multiplicar matrices: condición y método elemento a elemento.
La traspuesta y sus propiedades fundamentales.
Ejemplos resueltos paso a paso y ejercicios propuestos.
Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato
1. ¿Qué es una matriz?
Una matriz es una tabla rectangular de números reales organizados en filas y columnas. Se dice que tiene orden \(m\times n\) cuando tiene \(m\) filas y \(n\) columnas. El elemento que ocupa la fila \(i\) y la columna \(j\) se denota \(a_{ij}\).
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y todos sus elementos correspondientes son iguales: \(A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}\) para todo \(i,j\).
Ejemplo: en la matriz \(A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\0&5&-4\end{pmatrix}\) de orden \(2\times3\), el elemento \(a_{13}=2\) y el elemento \(a_{22}=5\).
2. Tipos de matrices
Matriz cuadrada
Igual número de filas que columnas (\(m=n\)). El orden se indica como \(n\).
La suma (o resta) de dos matrices solo está definida cuando ambas tienen el mismo orden \(m\times n\). El resultado es otra matriz de orden \(m\times n\) obtenida sumando (o restando) los elementos que ocupan la misma posición.
No se puede sumar: \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}_{2\times2}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}_{2\times3}\) tienen órdenes distintos.
4. Producto de una matriz por un escalar
Multiplicar una matriz \(A\) por un número real \(\lambda\) produce una nueva matriz del mismo orden en la que cada elemento queda multiplicado por \(\lambda\).
El producto \(A\cdot B\) está definido cuando el número de columnas de \(A\) coincide con el número de filas de \(B\). Si \(A\) es \(m\times n\) y \(B\) es \(n\times p\), el resultado \(C=AB\) es de orden \(m\times p\).
Regla de dimensiones: \(A_{\,m\times \mathbf{n}}\cdot B_{\,\mathbf{n}\times p}=C_{\,m\times p}\). Los "interiores" deben coincidir (\(n=n\)) y el resultado tiene las dimensiones "exteriores" (\(m\times p\)).
Cómo se calcula cada elemento
El elemento \(c_{ij}\) se obtiene multiplicando término a término la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\) y sumando los productos:
No conmutativo en general: \(AB\neq BA\), incluso cuando ambos productos están definidos
Asociativo: \((AB)C=A(BC)\)
Distributivo respecto a la suma: \(A(B+C)=AB+AC\) y \((B+C)A=BA+CA\)
Elemento neutro: \(AI=IA=A\) para cualquier matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\)
Producto por escalar: \(\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
Atención: el producto de matrices no es conmutativo. Puede ocurrir que \(AB\) exista pero \(BA\) no (cuando las dimensiones no encajan), o que ambos existan pero \(AB\neq BA\).
La traspuesta de \(A\) de orden \(m\times n\) es la matriz \(A^T\) de orden \(n\times m\) que se obtiene intercambiando filas por columnas: la fila \(i\) de \(A\) pasa a ser la columna \(i\) de \(A^T\).
\[
(A^T)_{ij}=a_{ji}\qquad\Longrightarrow\qquad
\text{si }A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\text{ entonces }A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}
\]
Propiedades de la traspuesta
\((A^T)^T=A\)
\((A+B)^T=A^T+B^T\)
\((\lambda A)^T=\lambda A^T\)
\((AB)^T=B^T A^T\) — el orden de los factores se invierte
Una matriz cuadrada se dice simétrica si \(A^T=A\) (los elementos simétricos respecto a la diagonal son iguales) y antisimétrica si \(A^T=-A\).
7. Inversa de una matriz
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) tiene inversa \(A^{-1}\) si existe una matriz del mismo orden tal que:
\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n\]
La inversa solo existe cuando \(\det(A)\neq 0\). Una matriz con inversa se llama regular (o no singular); sin inversa, singular.
Fórmula para matrices 2×2
Si \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) y \(\det(A)=ad-bc\neq 0\):
Ejemplo: para \(A=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\), \(\det(A)=3-2=1\), luego \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\). Comprobación: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}3-2&-3+3\\2-2&-2+3\end{pmatrix}=I_2\;\checkmark\)
Para matrices de orden mayor
Se calculan mediante el método de Gauss-Jordan (escalonando la matriz ampliada \((A\,|\,I)\) hasta obtener \((I\,|\,A^{-1})\)) o mediante la matriz adjunta (\(A^{-1}=\tfrac{1}{\det(A)}\,\text{Adj}(A)^T\)).
Propiedades de la inversa
\((A^{-1})^{-1}=A\)
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) — el orden de los factores se invierte
\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
\((\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}\) para \(\lambda\neq 0\)
8. Potencia de una matriz
La potencia \(n\)-ésima de una matriz cuadrada \(A\) se define como el producto de \(A\) por sí misma \(n\) veces. Solo está definida para matrices cuadradas.
¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de operaciones con matrices permite introducir matrices de cualquier tamaño y obtener el resultado de la suma, el producto o la traspuesta paso a paso.
\(A\) es raíz de \(p(\lambda)=(\lambda-1)^2\). (Verifica \(A^2-2A+I=O\) )
¿Quieres practicar con tus propias matrices? La calculadora de operaciones con matrices te permite introducir matrices de cualquier tamaño y obtener el resultado paso a paso.
Sumar matrices de distinto orden. La suma solo está definida entre matrices con el mismo número de filas y columnas. Si los órdenes difieren, la operación no tiene sentido.
Creer que el producto es conmutativo. En general \(AB\neq BA\), incluso para matrices cuadradas del mismo orden. Siempre hay que respetar el orden de los factores.
Confundir la condición del producto. Para calcular \(A\cdot B\), el número de columnas de \(A\) debe coincidir con el número de filas de \(B\), no al revés.
Error en el cálculo de \(c_{ij}\). El elemento \(c_{ij}\) se calcula con la fila \(i\) de \(A\) y la columna \(j\) de \(B\). Un error frecuente es usar la columna \(i\) de \(A\) o la fila \(j\) de \(B\).
Trasponer el producto como \(A^TB^T\) en lugar de \(B^TA^T\). La propiedad correcta invierte el orden: \((AB)^T=B^TA^T\).
Confundir traspuesta con inversa. \(A^T\) intercambia filas y columnas; \(A^{-1}\) es la matriz tal que \(AA^{-1}=I\). Son operaciones distintas y no tienen por qué coincidir.
11. Ejercicios propuestos
Practica los conceptos. Intenta resolver cada ejercicio antes de ver la solución.
Ej. 1Suma · EscalarMatrices 3×2
Dadas
\[A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\\1&4\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\\3&-1\end{pmatrix}\]
calcula \(A+B\), \(A-B\) y \(2A-3B\).
Estos ejercicios tienen el nivel y el planteamiento habitual en pruebas de acceso a la universidad: aplicar propiedades de la inversa, buscar patrones en potencias y comprobar si dos matrices conmutan.
PAU 1InversaNivel avanzado · Propiedad de la inversa de un producto
Dadas \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\):
a) Comprueba que \((A\cdot B)^{-1}\neq A^{-1}\cdot B^{-1}\).
b) Comprueba que \((A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\).
c) Halla dos matrices \(C\) y \(D\) de orden 2, distintas de la matriz identidad, para las que sí se verifique \((C\cdot D)^{-1}=C^{-1}\cdot D^{-1}\).
Inversas individuales de A y B
Ambas matrices tienen determinante 1, así que la inversa se obtiene directamente con la fórmula de orden 2:
Este resultado coincide exactamente con \((AB)^{-1}\) calculado antes, así que \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
c) Dos matrices donde sí se cumple \((CD)^{-1}=C^{-1}D^{-1}\)
La igualdad \((CD)^{-1}=C^{-1}D^{-1}\) solo falla porque, en general, \(AB\neq BA\); si se eligen dos matrices que sí conmuten, ambos órdenes de la inversa coinciden. El caso más sencillo son dos matrices diagonales, por ejemplo:
PAU 2PotenciaNivel avanzado · Búsqueda de patrón en orden 3
Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\), calcula \(A^2\), \(A^3\) y \(A^4\), y deduce (sin demostrarla formalmente) una fórmula general para \(A^n\) con \(n\) natural.
La diagonal principal se mantiene en 1 y la parte inferior en 0 (la matriz es siempre triangular superior con unos en la diagonal). En la primera superdiagonal aparece el exponente \(n\), y en la esquina superior derecha aparece el número combinatorio \(\binom{n}{2}=\tfrac{n(n-1)}{2}\) (1, 3, 6,… para \(n=2,3,4\)). Esto sugiere:
Para ir más allá: escribiendo \(A=I+N\) con \(N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\) (que cumple \(N^3=0\)), el binomio de Newton \((I+N)^n=I+nN+\binom{n}{2}N^2\) explica directamente por qué aparece el término cuadrático \(\binom{n}{2}\) y por qué no surgen términos de grado superior.
PAU 3ProductoNivel avanzado · Conmutatividad y conmutante en orden 3
a) Dadas \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\2&1&0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&1&-1\\0&1&3\\1&-2&1\end{pmatrix}\), calcula \(A\cdot B\) y \(B\cdot A\), y razona si \(A\) y \(B\) conmutan.
b) Considera ahora \(C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\). Halla todas las matrices \(X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{pmatrix}\) de orden 3 que verifican \(C\cdot X=X\cdot C\).
Como \(AB\neq BA\) (basta comparar el elemento de la fila 1, columna 1: 4 frente a −1), las matrices no conmutan.
b) Planteamiento de \(CX=XC\)
Como \(C\) es diagonal, multiplicar por la izquierda escala cada fila de \(X\) por el elemento diagonal correspondiente, y multiplicar por la derecha escala cada columna:
¿Por qué no siempre se puede multiplicar dos matrices? Porque el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Si no se cumple, el producto simplemente no está definido.
¿El producto de matrices es conmutativo? No, en general \(AB\neq BA\) (como se ve en el ejercicio PAU 3), incluso cuando ambos productos están definidos y tienen las mismas dimensiones.
¿Toda matriz cuadrada tiene inversa? No. Solo las que tienen determinante distinto de cero; a esas se las llama matrices regulares o invertibles.
¿Qué relación hay entre la traspuesta de un producto y la inversa de un producto? Ambas invierten el orden de los factores: \((AB)^t=B^tA^t\) y \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). Es un patrón que conviene recordar junto.
¿Para qué sirve elevar una matriz a una potencia? Aparece, por ejemplo, al estudiar procesos que se repiten varias veces (como en las cadenas de Markov) o al buscar patrones que permiten calcular \(A^n\) sin multiplicar la matriz por sí misma \(n\) veces.