Todo lo que necesitas para calcular el rango de una matriz por Gauss:
Qué es el rango y cómo se interpreta.
Operaciones elementales por filas y forma escalonada.
Ejemplo resuelto y ejercicios con solución.
Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato
1. ¿Qué es el rango de una matriz?
El rango de una matriz \(A\) de orden \(m\times n\) es el mayor número de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Se denota \(\text{rg}(A)\) o \(\text{rang}(A)\), y cumple siempre:
\[0\;\leq\;\text{rg}(A)\;\leq\;\min(m,n)\]
Dos o más filas son linealmente dependientes cuando una puede expresarse como combinación lineal de las demás. En la práctica, el rango coincide con el número de filas no nulas que aparecen al escalonar la matriz; cada una de esas filas contiene un pivote (primer elemento distinto de cero de la fila), y el número de pivotes es exactamente el rango.
Idea fundamental: las operaciones elementales por filas —permutar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar un múltiplo de una fila a otra— no modifican el rango. Por eso, la forma escalonada obtenida por Gauss tiene exactamente el mismo rango que la matriz original, y podemos leer el rango directamente contando sus filas no nulas.
El rango puede calcularse también mediante el método de los menores (buscando el mayor menor no nulo). Ambos métodos dan siempre el mismo resultado.
2. Propiedades del rango
Las propiedades más importantes del rango son:
Cota superior. Para toda matriz \(A_{m\times n}\): \(\text{rg}(A)\leq\min(m,n)\). El rango nunca puede superar ni el número de filas ni el de columnas.
Rango por filas = rango por columnas. \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^T)\). El número de filas independientes coincide con el número de columnas independientes.
Rango 0. Solo la matriz nula (todos sus elementos son cero) tiene rango 0. Cualquier otra matriz tiene rango al menos 1.
Rango máximo (rango completo). Una matriz \(m\times n\) tiene rango máximo cuando \(\text{rg}(A)=\min(m,n)\).
Matriz cuadrada. Una matriz cuadrada \(n\times n\) tiene rango máximo si y solo si su determinante es distinto de cero: \(\text{rg}(A)=n\Longleftrightarrow\det(A)\neq 0\).
3. Operaciones elementales por filas
El método de Gauss consiste en transformar la matriz en una forma escalonada aplicando operaciones elementales por filas. Estas operaciones no cambian el rango de la matriz:
Intercambio de filasCambiar de posición dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\)
Multiplicación por escalar no nuloMultiplicar todos los elementos de una fila por un número no nulo: \(F_i \to k \cdot F_i\)
Combinación lineal de filasSustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras filas: \(F_i \to aF_i + bF_j\), con \(a\neq 0\).
Una matriz está en forma escalonada cuando el primer elemento no nulo de cada fila (el pivote) está estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila anterior, y las filas nulas (si las hay) se encuentran al final.
La forma escalonada tiene 3 filas no nulas, luego \(\text{rg}(A)=3\).
4. El método paso a paso
Escribe la matriz con todos sus elementos, respetando el orden de filas y columnas.
Escalona la matriz aplicando operaciones elementales por filas hasta obtener la forma escalonada. Si conviene, intercambia filas para que la primera fila no empiece en cero.
Cuenta las filas no nulas de la forma escalonada obtenida. Ese número es el rango de la matriz.
¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de rango por Gauss te permite introducir tu propia matriz, aplicar las operaciones paso a paso y obtener el resultado automáticamente.
La forma escalonada tiene 4 filas no nulas: el rango alcanza el máximo posible para una matriz 4×4.
rg(A) = 4
6. Errores frecuentes
Confundir rango con determinante. El determinante solo existe para matrices cuadradas; el rango se puede calcular en cualquier matriz.
Cometer errores de signo en las combinaciones lineales. Conviene escribir cada operación completa antes de calcular.
Olvidar que el coeficiente de la propia fila debe ser no nulo. En \(F_i \to aF_i + bF_j\), el coeficiente \(a\) no puede ser cero.
Confundir el pivote de cada fila. El pivote es el primer elemento distinto de cero de la fila en la forma escalonada, no necesariamente el mayor.
Concluir el rango antes de terminar el escalonamiento. Hay que llevar la matriz a la forma escalonada completa antes de contar las filas no nulas.
No intercambiar filas cuando es necesario. Si el primer elemento de la primera fila es cero, hay que intercambiarla con otra que tenga un elemento no nulo en esa posición.
¿Prefieres practicar con la herramienta? La calculadora de rango por Gauss te permite introducir tu propia matriz, aplicar las operaciones paso a paso y obtener el resultado automáticamente.
La forma escalonada tiene 3 filas no nulas, que es el máximo posible para una matriz 4×3.
rg(A) = 3
Nota: Una matriz 4×3 no puede tener rango mayor que 3, el mínimo entre sus dos dimensiones.
8. Ejercicios tipo PAU
El caso más habitual en Selectividad no es calcular el rango de una matriz numérica, sino discutirlo según los valores de un parámetro. Estos ejercicios tienen ese planteamiento y ese nivel de dificultad.
PAU 1Orden 3Nivel avanzado · Discusión según parámetro
Estudia el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro \(m\):
\[A=\begin{pmatrix}1 & m & 1\\m & 1 & 1\\1 & 1 & m\end{pmatrix}\]
Si \(m\neq1\) y \(m\neq-2\): las filas 2 y 3 no son proporcionales entre sí, y ninguna es nula → rg(A) = 3.
Si \(m=1\): el factor común se anula y las filas 2 y 3 quedan enteras a cero → rg(A) = 1.
Si \(m=-2\): las filas 2 y 3 son proporcionales entre sí (\(F_3=-F_2\)) → rg(A) = 2.
rg(A)=3 si m≠1,−2 · rg(A)=1 si m=1 · rg(A)=2 si m=−2
Estrategia clave: sacar factor común antes de comparar filas evita tener que probar valores al azar; el factor que se anula señala directamente los valores críticos de m.
PAU 2Matriz 3×4Nivel avanzado · Discusión según parámetro
Estudia el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro \(m\):
\[A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\2 & 4 & m & 1\\1 & 2 & 3 & 2\end{pmatrix}\]
Las filas 2 y 3 son proporcionales solo si \(\dfrac{m-2}{2}=\dfrac{1}{2}\), es decir, si \(m=3\):
Si \(m\neq3\): la fila 2 no es proporcional a la fila 3, y ninguna es nula → rg(A) = 3 (rango máximo posible, al tener la matriz solo 3 filas).
Si \(m=3\): queda \((0,0,1,1)\) y \((0,0,2,2)=2\cdot(0,0,1,1)\), filas proporcionales → rg(A) = 2.
rg(A)=3 si m≠3 · rg(A)=2 si m=3
PAU 3Orden 3Nivel avanzado · Atajo con el determinante
Estudia el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro \(m\):
\[A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & m & 6\\1 & 1 & m\end{pmatrix}\]
Paso 1: usar el determinante como atajo
Como la matriz es cuadrada, en vez de escalonar directamente conviene calcular primero \(\det(A)\), ya que \(\text{rg}(A)=3 \iff \det(A)\neq0\):
\[\det(A)=m^2-7m+12=(m-4)(m-3)\]
Paso 2: discusión
Si \(m\neq3\) y \(m\neq4\): \(\det(A)\neq0\) → rg(A) = 3.
Si \(m=3\) o \(m=4\): \(\det(A)=0\), así que el rango es menor que 3. Sustituyendo cualquiera de los dos valores se comprueba que la submatriz \(\begin{pmatrix}1&2\\2&m\end{pmatrix}\) tiene determinante no nulo → rg(A) = 2 en ambos casos.
rg(A)=3 si m≠3,4 · rg(A)=2 si m=3 o m=4
Por qué este atajo funciona: el determinante solo dice si el rango es máximo o no; para saber cuánto vale exactamente cuando no lo es, hace falta escalonar o buscar un menor no nulo, como en el paso 2.
9. Preguntas frecuentes
¿Qué hago si el pivote de una columna es 0? Se intercambian dos filas para llevar a esa posición un elemento no nulo (si existe alguno por debajo). Intercambiar filas no cambia el rango, aunque sí cambiaría el signo del determinante si se calculara uno.
¿Las operaciones con columnas también son válidas? Sí. El rango no cambia si se aplican operaciones elementales por columnas en vez de por filas; de hecho a veces conviene combinarlas para simplificar antes.
¿Cuál es el rango máximo posible de una matriz \(m\times n\)? El menor de los dos valores, \(\min(m,n)\). Una matriz 3×5 nunca puede tener rango mayor que 3.
¿Qué significa que una fila se convierta en todo ceros? Que esa fila era combinación lineal de las demás (dependiente), y por tanto no aporta al rango; se descarta sin más al contar filas no nulas.
¿Para qué sirve el rango, más allá de calcularlo? Es la base para clasificar sistemas de ecuaciones mediante el teorema de Rouché-Frobenius: comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada se sabe si el sistema tiene solución única, infinitas o ninguna.
¿Quieres practicar con tu propia matriz? La calculadora te permite introducir cualquier matriz, aplicar las operaciones de Gauss paso a paso y obtener el rango automáticamente.