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Cálculo de determinantes: métodos y propiedades

Todo lo que necesitas para calcular determinantes de cualquier orden:

  1. Cómo calcular determinantes de orden 2, 3 y 4 o superior.
  2. Menor complementario, cofactor y desarrollo de Laplace.
  3. Propiedades principales con ejemplos numéricos.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es el determinante?

El determinante de una matriz cuadrada \(A\) es un número real que queda unívocamente determinado por los elementos de dicha matriz. Se denota \(\det(A)\) o \(|A|\). Solo está definido para matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas).

Sus aplicaciones son múltiples en álgebra lineal:

Relación con otros conceptos clave:

Invertibilidad: \(A\) es invertible \(\Longleftrightarrow \det(A)\neq 0\).

Rango: si \(A\) es cuadrada y \(\det(A)\neq 0\), entonces \(\text{rg}(A)=\text{orden de }A\); si \(\det(A)=0\), entonces \(\text{rg}(A)<\text{orden}\).

Regla de Cramer: si \(A\) es cuadrada y \(\det(A)\neq 0\), la solución única del sistema \(Ax=b\) es \(x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}\).

Sistemas homogéneos: si \(A\) es cuadrada, \(Ax=0\) tiene solución no trivial \(\Longleftrightarrow \det(A)=0\).

2. Determinante de orden 2

Para una matriz \(2\times 2\) la fórmula es directa: se restan los productos de las diagonales.

\[ \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc \]

Ejemplo 1

\[ \begin{vmatrix}3 & -1 \\ 2 & 5\end{vmatrix} = 3\cdot 5 - (-1)\cdot 2 = 15 + 2 = 17 \]
det = 17

Ejemplo 2

\[ \begin{vmatrix}3 & -2 \\ 1 & 4\end{vmatrix} = 3\cdot 4 - (-2)\cdot 1 = 12 + 2 = 14 \]
det = 14

3. Determinante de orden 3: regla de Sarrus

Para una matriz \(3\times 3\) existe un método mnemotécnico llamado regla de Sarrus. La idea es repetir las dos primeras columnas a la derecha y sumar los productos de las tres diagonales descendentes, restando los de las tres diagonales ascendentes.

\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\]

Atención: la regla de Sarrus es exclusiva del orden 3. No funciona para matrices de orden 4 o superior. Para esos casos es obligatorio usar el teorema de Laplace.

Ejemplo 1

\[A = \begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 3 & 0\end{pmatrix}\]

Productos positivos (diagonales descendentes)

\[3\cdot(-1)\cdot 0 + 1\cdot 4\cdot 1 + (-2)\cdot 2\cdot 3 = 0 + 4 - 12 = -8\]

Productos negativos (diagonales ascendentes)

\[(-2)\cdot(-1)\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 0 + 3\cdot 4\cdot 3 = 2 + 0 + 36 = 38\]

Resultado

\[\det(A) = -8 - 38 = -46\]
det(A) = −46

Ejemplo 2

\[A = \begin{pmatrix}2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & 5\end{pmatrix}\]

Productos positivos

\[2\cdot 4\cdot 5 + (-1)\cdot 2\cdot(-2) + 3\cdot 1\cdot 1 = 40 + 4 + 3 = 47\]

Productos negativos

\[3\cdot 4\cdot(-2) + (-1)\cdot 1\cdot 5 + 2\cdot 2\cdot 1 = -24 - 5 + 4 = -25\]

Resultado

\[\det(A) = 47 - (-25) = 47 + 25 = 72\]
det(A) = 72

4. Menor complementario y cofactor

Menor complementario \(M_{ij}\)

El menor complementario \(M_{ij}\) del elemento \(a_{ij}\) es el determinante de la submatriz de orden \(n-1\) que se obtiene al suprimir la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\).

Cofactor (adjunto) \(A_{ij}\)

El cofactor del elemento \(a_{ij}\) incorpora el signo correspondiente a su posición:

\[A_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\]

La tabla de signos \((-1)^{i+j}\) tiene la siguiente estructura:

\[ \begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \cdots \\ + & - & + & \cdots \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix} \]

Si \(i+j\) es par, el signo es \(+\); si \(i+j\) es impar, el signo es \(-\).

Ejemplo — Orden 3

Sea \(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}\). Calcula \(A_{23}\).

Menor complementario \(M_{23}\)

Se suprime la fila 2 y la columna 3:

\[ M_{23} = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = 1\cdot 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3 \]

Cofactor \(A_{23}\)

\[A_{23} = (-1)^{2+3}\cdot(-3) = (-1)\cdot(-3) = 3\]
\(A_{23} = 3\)

Ejemplo — Orden 4

Sea \(A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\). Calcula \(A_{13}\).

Menor complementario \(M_{13}\)

Se suprime la fila 1 y la columna 3:

\[ M_{13} = \begin{vmatrix}0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0\end{vmatrix} \]

Aplicando Sarrus: \((0+9+8)-(2+0+0)=17-2=15\).

Cofactor \(A_{13}\)

\[A_{13} = (-1)^{1+3}\cdot 15 = (+1)\cdot 15 = 15\]
\(A_{13} = 15\)

5. Orden 4 o superior: teorema de Laplace

Para matrices de orden \(n\geq 4\), la regla de Sarrus no es aplicable. Se utiliza el teorema de Laplace (o desarrollo por adjuntos), que permite calcular \(\det(A)\) eligiendo cualquier fila o columna:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot A_{ij} \quad\text{(desarrollo por la fila }i\text{)} \]
\[ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\cdot A_{ij} \quad\text{(desarrollo por la columna }j\text{)} \]

Conviene elegir la fila o columna con más ceros, ya que los términos con \(a_{ij}=0\) no contribuyen al resultado y simplifican el cálculo. Aplicando el teorema repetidamente se reduce el orden hasta llegar a determinantes de orden 3, donde se aplica Sarrus.

Una estrategia muy habitual para orden 4 consiste en introducir ceros mediante operaciones de fila del tipo \(F_i \to F_i + \lambda F_j\) (que no cambian el valor del determinante) antes de desarrollar por Laplace.

Ejemplo 1 — Desarrollo directo por la columna 3

\[ A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4\end{pmatrix} \]

La columna 3 tiene tres ceros; solo \(a_{33}=1\) es no nulo. Desarrollando por esa columna:

\[ \det(A) = 1\cdot(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 4\end{vmatrix} \]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(2\cdot4\cdot4 + 1\cdot2\cdot0 + 3\cdot1\cdot2) - (3\cdot4\cdot0 + 1\cdot1\cdot4 + 2\cdot2\cdot2)\\ &= (32 + 0 + 6) - (0 + 4 + 8) = 38 - 12 = 26 \end{aligned} \]
det(A) = 26

Ejemplo 2 — Operaciones de fila + desarrollo por columna 1

\[ A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix} \]

Se introducen ceros en la columna 1 mediante \(F_2\to F_2-2F_1\) y \(F_3\to F_3+F_1\):

\[ \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix} \]

Desarrollando por la columna 1 (solo \(a_{11}=1\)):

\[ \det(A) = 1\cdot(+1)\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix} \]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(1\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot2\cdot1 + 2\cdot2\cdot(-2)) - (2\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot2\cdot1 + 1\cdot2\cdot(-2))\\ &= (2 - 2 - 8) - (4 - 2 - 4) = -8 - (-2) = -8 + 2 = -6 \end{aligned} \]
det(A) = −6

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de determinantes te permite introducir tu propia matriz y obtener el resultado paso a paso, con el desarrollo por adjuntos detallado.

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6. Propiedades del determinante

Estas propiedades permiten simplificar el cálculo y son válidas tanto para filas como para columnas (por la propiedad 7).

Propiedad 1 — Intercambio de filas o columnas Intercambiar dos filas (o dos columnas) cambia el signo del determinante. Ej: \(\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{vmatrix}=5\). Al intercambiar \(F_1\leftrightarrow F_2\): \(\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{vmatrix}=3-8=-5\).
Propiedad 2 — Factor común Un factor común a todos los elementos de una fila (o columna) puede extraerse fuera del determinante. Ej: \(\begin{vmatrix}6 & 9 \\ 2 & 5\end{vmatrix} = 3\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 2 & 5\end{vmatrix} = 3\cdot(10-6) = 3\cdot 4 = 12\).
Propiedad 3 — Operación \(F_i\to F_i + \lambda F_j\) Sumar a una fila un múltiplo de otra fila no cambia el valor del determinante. Esta es la operación clave para introducir ceros antes de aplicar Laplace. Atención: si la operación es \(F_i\to aF_i+\lambda F_j\) con \(a\neq 1\), el determinante queda multiplicado por \(a\).
Propiedad 4 — Fila o columna de ceros Si una fila (o columna) tiene todos sus elementos iguales a cero, el determinante es cero. Ej: \(\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix} = 0\).
Propiedad 5 — Filas o columnas proporcionales Si dos filas (o columnas) son proporcionales entre sí, el determinante es cero. Ej: \(\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 6\end{vmatrix} = 6 - 6 = 0\) (la segunda fila es el triple de la primera).
Propiedad 6 — Matriz triangular El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de la diagonal principal. Ej: \(\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{vmatrix} = 2\cdot(-1)\cdot 3 = -6\).
Propiedad 7 — Determinante de la transpuesta El determinante de una matriz y el de su transpuesta son iguales: \(\det(A^T)=\det(A)\). Por ello, todas las propiedades de filas son válidas también para columnas.
Propiedad 8 — Producto de matrices El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes: \(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\). Consecuencia: si \(A\) es invertible, \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\).

7. Errores frecuentes

¿Prefieres practicar con la herramienta? La calculadora de determinantes resuelve matrices de cualquier orden con el desarrollo por adjuntos completo.

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8. Ejercicios propuestos

Calcula el determinante de cada matriz. Intenta resolverlo antes de ver la solución.

Ej. 1Orden 2Nivel básico
Calcula el determinante: \[A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix}\]

Fórmula directa

\[\det(A) = 1\cdot 5 - 3\cdot 2 = 5 - 6 = -1\]
det(A) = −1
Ej. 2Orden 3Nivel medio · Desarrollo por fila 1
Calcula el determinante por desarrollo de Laplace por la primera fila: \[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3\end{pmatrix}\]

Desarrollo por la fila 1

\[ \begin{aligned} \det(A) &= 1\cdot(+1)\begin{vmatrix}0 & 2\\1 & 3\end{vmatrix} + 2\cdot(-1)\begin{vmatrix}3 & 2\\-1 & 3\end{vmatrix} + (-1)\cdot(+1)\begin{vmatrix}3 & 0\\-1 & 1\end{vmatrix}\\[6pt] &= 1\cdot(0-2) + (-2)\cdot(9+2) + (-1)\cdot(3-0)\\[6pt] &= -2 + (-2)\cdot 11 - 3 = -2 - 22 - 3 = -27 \end{aligned} \]
det(A) = −27
Comprobación con Sarrus: \((1\cdot0\cdot3+2\cdot2\cdot(-1)+(-1)\cdot3\cdot1)-((-1)\cdot0\cdot(-1)+1\cdot2\cdot1+2\cdot3\cdot3)=(0-4-3)-(0+2+18)=-7-20=-27\). Coincide con el resultado obtenido por Laplace.
Ej. 3Orden 3Nivel básico · Matriz triangular
Calcula el determinante: \[A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\]

Matriz triangular superior

El determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal:

\[\det(A) = 2\cdot(-1)\cdot 3 = -6\]
det(A) = −6
Recuerda: en cualquier matriz triangular (superior o inferior) el determinante es simplemente el producto de la diagonal.
Ej. 4Orden 3Nivel medio · Factor común
Calcula el determinante usando la propiedad del factor común: \[A = \begin{pmatrix}4 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}\]

Extracción del factor común de la fila 1

La primera fila tiene factor común 2:

\[\det(A) = 2\cdot\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{vmatrix}\]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(2\cdot2\cdot2 + 3\cdot(-1)\cdot3 + 1\cdot1\cdot1) - (1\cdot2\cdot3 + 3\cdot1\cdot2 + 2\cdot(-1)\cdot1)\\ &= (8 - 9 + 1) - (6 + 6 - 2) = 0 - 10 = -10 \end{aligned} \] \[\det(A) = 2\cdot(-10) = -20\]
det(A) = −20
Ej. 5Orden 4Nivel avanzado · Operaciones de fila
Calcula el determinante: \[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}\]

Introducción de ceros en la columna 1

Aplicamos \(F_2\to F_2-2F_1\) y \(F_3\to F_3+F_1\):

\[ \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix} \]

Desarrollo por la columna 1

\[\det(A) = 1\cdot(+1)\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 4\end{vmatrix}\]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(1\cdot2\cdot4 + 3\cdot2\cdot2 + 3\cdot3\cdot1) - (3\cdot2\cdot2 + 3\cdot3\cdot4 + 1\cdot2\cdot1)\\ &= (8 + 12 + 9) - (12 + 36 + 2) = 29 - 50 = -21 \end{aligned} \]
det(A) = −21
Ej. 6Orden 4Nivel avanzado · Columna con ceros
Calcula el determinante aprovechando la columna con más ceros: \[A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\]

Desarrollo por la columna 3

La columna 3 tiene tres ceros; solo \(a_{33}=3\) es no nulo:

\[\det(A) = 3\cdot(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{vmatrix}\]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(1\cdot1\cdot2 + 3\cdot(-1)\cdot1 + 2\cdot2\cdot0) - (2\cdot1\cdot1 + 3\cdot2\cdot2 + 1\cdot(-1)\cdot0)\\ &= (2 - 3 + 0) - (2 + 12 + 0) = -1 - 14 = -15 \end{aligned} \] \[\det(A) = 3\cdot(+1)\cdot(-15) = -45\]
det(A) = −45
Ej. 7Orden 4Nivel avanzado · Factor común + operaciones
Calcula el determinante: \[A = \begin{pmatrix}2 & 4 & 6 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Factor común en la fila 1

La primera fila tiene factor común 2:

\[\det(A) = 2\cdot\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1\end{vmatrix}\]

Introducción de ceros con \(F_2\to F_2-F_1\), \(F_4\to F_4-2F_1\)

\[ 2\cdot\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 & -1\end{vmatrix} \]

Desarrollo por columna 1

\[ 2\cdot 1\cdot(+1)\cdot\begin{vmatrix}1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -6 & -1\end{vmatrix} \]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(1\cdot2\cdot(-1)+(-2)\cdot3\cdot(-3)+1\cdot1\cdot(-6))-(1\cdot2\cdot(-3)+(-2)\cdot1\cdot(-1)+1\cdot3\cdot(-6))\\ &= (-2+18-6)-(-6+2-18)=10-(-22)=32 \end{aligned} \] \[\det(A) = 2\cdot 32 = 64\]
det(A) = 64
Ej. 8Orden 5Nivel avanzado · Reducción a orden 4
Calcula el determinante: \[A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Desarrollo por la columna 3

La columna 3 tiene cuatro ceros; solo \(a_{33}=3\) es no nulo:

\[\det(A) = 3\cdot(-1)^{3+3}\cdot\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 1\end{vmatrix}\]

Determinante 4×4 — introducción de ceros con \(F_2\to F_2-2F_1\), \(F_4\to F_4-F_1\)

\[ 3\cdot\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -2 & 0\end{vmatrix} = 3\cdot 1\cdot(+1)\cdot\begin{vmatrix}3 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & 0\end{vmatrix} \]

Determinante 3×3 (Sarrus)

\[ \begin{aligned} &(3\cdot2\cdot0+(-3)\cdot3\cdot2+(-2)\cdot1\cdot(-2))-((-2)\cdot2\cdot2+(-3)\cdot1\cdot0+3\cdot3\cdot(-2))\\ &=(0-18+4)-(-8+0-18)=-14-(-26)=-14+26=12 \end{aligned} \] \[\det(A)=3\cdot 12=36\]
det(A) = 36
Estrategia: buscar siempre la fila o columna con más ceros para minimizar el número de cofactores a calcular.

9. Ejercicios tipo PAU

El cálculo de determinantes es una herramienta habitual en las pruebas de acceso a la universidad, tanto para calcularlos directamente como para discutirlos según un parámetro o aplicar sus propiedades. Estos ejercicios tienen ese mismo nivel y planteamiento.

PAU 1Orden 4Nivel avanzado · Reducción por filas
Calcula el determinante, simplificando primero mediante operaciones elementales por filas: \[A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 1\end{pmatrix}\]

Paso 1: hacer ceros en la primera columna

Como \(a_{11}=1\), conviene usar la primera fila para anular el resto de la columna sin alterar el determinante:

\[F_2\to F_2-2F_1,\quad F_3\to F_3+F_1,\quad F_4\to F_4-3F_1\] \[A \to \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 5 & -8\end{pmatrix}\]

Paso 2: desarrollar por la primera columna

Al quedar un único elemento no nulo en la columna, el determinante de orden 4 se reduce a uno de orden 3:

\[\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 5 \\ -2 & 5 & -8\end{vmatrix}\]

Paso 3: resolver por Sarrus

\[\det=\big(1\cdot2\cdot(-8)+2\cdot5\cdot(-2)+(-2)\cdot2\cdot5\big)-\big((-2)\cdot2\cdot(-2)+1\cdot5\cdot5+2\cdot2\cdot(-8)\big)\] \[\det=(-16-20-20)-(8+25-32)=-56-1=-57\]
det(A) = −57
Por qué conviene este camino: desarrollar directamente un determinante de orden 4 por Laplace obliga a calcular cuatro cofactores de orden 3. Reduciendo antes por filas, se calcula uno solo.
PAU 2Orden 3Nivel avanzado · Parámetro con raíz doble
Estudia para qué valores de \(a\) se anula el determinante, indicando si alguna raíz es múltiple: \[\begin{vmatrix}a & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & a\end{vmatrix}\]

Desarrollo y simplificación

\[ \begin{aligned} \det &= a(1\cdot a - a\cdot a) - a(a\cdot a - a\cdot 1) + 1(a\cdot a - 1\cdot 1)\\[4pt] &= a(a-a^2) - a(a^2-a) + (a^2-1)\\[4pt] &= -2a^3+2a^2+a^2-1 = -2a^3+3a^2-1 \end{aligned} \]

Factorización

Probando \(a=1\): \(-2+3-1=0\), así que \((a-1)\) es factor. Dividiendo:

\[-2a^3+3a^2-1 = -(a-1)^2(2a+1)\]

El factor \((a-1)\) aparece al cuadrado, así que \(a=1\) es una raíz doble:

\[a=1 \;(\text{doble}) \quad\text{o}\quad a=-\tfrac{1}{2}\]
Se anula para a = 1 (raíz doble) y a = −1/2
Cuidado: que \(a=1\) sea raíz doble del determinante no implica que el rango se comporte igual que en las raíces simples; hay que sustituir \(a=1\) directamente en la matriz y estudiar sus filas por separado.
PAU 3PropiedadesNivel avanzado · Propiedades encadenadas
Sean \(A\) y \(B\) matrices cuadradas de orden 3 con \(\det(A)=2\) y \(\det(B)=-3\). Calcula, sin desarrollar ninguna matriz:
a) \(\det(A\cdot B)\)   b) \(\det(3A)\)   c) \(\det(A^{-1}\cdot B^t)\)   d) \(\det\big((2A)^{-1}\cdot B^2\big)\)

Combinando varias propiedades en cada apartado

a) El determinante de un producto es el producto de los determinantes:

\[\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)=2\cdot(-3)=-6\]

b) Al multiplicar por un escalar una matriz de orden 3, el determinante se multiplica por ese escalar al cubo:

\[\det(3A)=3^3\cdot\det(A)=27\cdot2=54\]

c) Se combina la propiedad de la inversa con la de la traspuesta:

\[\det(A^{-1}B^t)=\det(A^{-1})\cdot\det(B^t)=\frac{1}{\det(A)}\cdot\det(B)=\frac{1}{2}\cdot(-3)=-\frac{3}{2}\]

d) Aquí se encadenan tres propiedades: escalar, inversa y potencia:

\[\det\big((2A)^{-1}B^2\big)=\frac{1}{\det(2A)}\cdot\big(\det(B)\big)^2=\frac{1}{2^3\cdot\det(A)}\cdot(-3)^2=\frac{1}{16}\cdot9=\frac{9}{16}\]
det(AB)=−6 · det(3A)=54 · det(A⁻¹Bᵗ)=−3/2 · det((2A)⁻¹B²)=9/16
Error típico: en el apartado d), olvidar que el escalar 2 dentro de \((2A)^{-1}\) también se ve afectado por el exponente −1, es decir, \(\det(2A)=2^3\det(A)\), no \(2\cdot\det(A)\).

10. Preguntas frecuentes

¿Quieres practicar con tu propia matriz? La calculadora de determinantes te permite introducir cualquier matriz cuadrada y obtener el resultado con el desarrollo completo paso a paso.

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