Sistemas de ecuaciones matriciales con dos incógnitas

Todo lo que necesitas para resolver sistemas de ecuaciones matriciales:

Qué es un sistema de ecuaciones matriciales y cuándo tiene solución única.
El método de resolución en 4 pasos.
Cuatro ejemplos resueltos con distintos tipos de coeficientes.
Ejercicios propuestos con solución oculta para practicar.
Preguntas frecuentes sobre casos especiales.

Por Fernando Alcaide Guindo · Matemáticas de Bachillerato

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones matriciales?

Es un sistema en el que las incógnitas no son números, sino matrices. En esta página trabajamos con dos incógnitas (normalmente \(X\) e \(Y\)) y dos ecuaciones lineales respecto de ellas. La forma general es:

\[\begin{cases}a_1X+b_1Y=C_1\\a_2X+b_2Y=C_2\end{cases}\]

Los coeficientes \(a_1,b_1,a_2,b_2\) son escalares numéricos, mientras que \(C_1\) y \(C_2\) son matrices conocidas del mismo orden.

Importante: esta herramienta resuelve sistemas con coeficientes escalares (como \(2X-Y=A\)). No resuelve productos del tipo \(AX+BY=C\), donde los coeficientes son matrices.

2. ¿Cuándo tiene solución única?

El sistema posee solución única si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero:

\[\Delta=\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\neq 0\]

Si \(\Delta=0\), el sistema puede ser incompatible o tener infinitas soluciones, igual que los sistemas numéricos ordinarios.

3. El método paso a paso

Ordenar el sistema: llevar todos los términos con \(X\) e \(Y\) al primer miembro y las matrices conocidas al segundo.
Comprobar que el determinante \(\Delta = a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0\).
Eliminar una incógnita: aplicar combinaciones lineales de las ecuaciones (método habitual de eliminación gaussiana) para obtener una ecuación con una sola incógnita. Se pueden usar las mismas operaciones que en sistemas numéricos: intercambio de ecuaciones, multiplicación por escalar no nulo, combinación lineal.
Obtener las dos incógnitas: resolver la ecuación con una sola incógnita y después sustituir en una de las ecuaciones originales para obtener la otra.

¿Quieres practicar lo que acabas de leer? La calculadora de sistemas de ecuaciones matriciales te permite introducir tu propio sistema, elegir las matrices y obtener la solución paso a paso automáticamente.

Usar la calculadora →

4. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Suma y diferencia (coeficientes 1 y −1)

\[\begin{cases}X+Y=A\\X-Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&3\\-1&1\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1=-2\neq 0\quad\Rightarrow\text{ solución única}\]

Eliminación de Y

Sumando las dos ecuaciones se elimina \(Y\):

\[(X+Y)+(X-Y)=A+B\;\Rightarrow\;2X=A+B\;\Rightarrow\;X=\tfrac{1}{2}(A+B)=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}6&4\\2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix}\]

Obtención de Y

Sustituyendo \(X\) en la primera ecuación:

\[Y=A-X=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix}\]

Solución

\(X=\begin{pmatrix}3&2\\1&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix}\)

Ejemplo 2 — Coeficientes escalares distintos

\[\begin{cases}2X-Y=A\\X+3Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}7&-1\\9&1\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix}=6-(-1)=7\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando con la segunda:

\[\begin{aligned}3(2X-Y)+(X+3Y)&=3A+B\\7X&=3A+B\\X&=\tfrac{1}{7}\!\left[\begin{pmatrix}0&15\\-9&6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7&-1\\9&1\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}7&14\\0&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=2X-A=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&5\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix}\]

Solución

\(X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}2&-1\\3&0\end{pmatrix}\)

Ejemplo 3 — Coeficientes enteros más altos

\[\begin{cases}3X-2Y=A\\5X+Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&2\\11&15\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}3&-2\\5&1\end{vmatrix}=3+10=13\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera:

\[\begin{aligned}(3X-2Y)+2(5X+Y)&=A+2B\\13X&=A+2B\\X&=\tfrac{1}{13}\!\left[\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}4&2\\11&15\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{13}\begin{pmatrix}13&0\\26&39\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{3X-A}{2}=\tfrac{1}{2}\!\left[\begin{pmatrix}3&0\\6&9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&-4\\4&9\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}\]

Solución

\(X=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}\)

Ejemplo 4 — Coeficientes fraccionarios y matrices 3×2

\[\begin{cases}\tfrac{1}{2}X+2Y=A\\X-Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\\4&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}\tfrac{1}{2}&2\\1&-1\end{vmatrix}=-\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{5}{2}\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera:

\[\begin{aligned}\left(\tfrac{1}{2}X+2Y\right)+2(X-Y)&=A+2B\\\tfrac{5}{2}X&=A+2B\\X&=\tfrac{2}{5}\!\left[\begin{pmatrix}3&-2\\2&5\\4&3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}\right]=\tfrac{2}{5}\begin{pmatrix}5&0\\10&-5\\0&15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=X-B=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\4&-5\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&0\end{pmatrix}\]

Solución

\(X=\begin{pmatrix}2&0\\4&-2\\0&6\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&0\end{pmatrix}\)

¿Prefieres practicar con la herramienta? La calculadora resuelve cualquier sistema con coeficientes escalares y matrices de cualquier orden, mostrando cada paso del proceso.

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5. Ejercicios propuestos

Intenta resolverlos tú mismo antes de comprobar la solución.

1Resuelve el sistema, sabiendo que las matrices \(A\) y \(B\) son:

\[\begin{cases}X+2Y=A\\3X-Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&6\\-1&0\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}=-1-6=-7\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera:

\[\begin{aligned}(X+2Y)+2(3X-Y)&=A+2B\\7X&=A+2B\\X&=\tfrac{1}{7}\!\left[\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&6\\-1&0\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}7&14\\0&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{A-X}{2}=\tfrac{1}{2}\!\left[\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4&0\\2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\)

2Resuelve el sistema para matrices de orden 2×3, sabiendo que \(A\) y \(B\) son:

\[\begin{cases}2X+3Y=A\\X-2Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}2&3&1\\12&-2&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&-2&4\\-1&-1&-1\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}2&3\\1&-2\end{vmatrix}=-4-3=-7\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y sumando:

\[\begin{aligned}2(2X+3Y)+3(X-2Y)&=2A+3B\\7X&=2A+3B\\X&=\tfrac{1}{7}\!\left[2\begin{pmatrix}2&3&1\\12&-2&5\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1&-2&4\\-1&-1&-1\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}7&0&14\\21&-7&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{A-2X}{3}=\tfrac{1}{3}\!\left[\begin{pmatrix}2&3&1\\12&-2&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&4\\6&-2&2\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0&3&-3\\6&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\2&0&1\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&1&-1\\2&0&1\end{pmatrix}\)

3Resuelve el sistema para matrices de orden 3×2, sabiendo que \(A\) y \(B\) son:

\[\begin{cases}3X-5Y=A\\-2X+3Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}8&-10\\6&-8\\-5&9\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-5&6\\-4&5\\3&-6\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}3&-5\\-2&3\end{vmatrix}=9-10=-1\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 5, y sumando:

\[\begin{aligned}3(3X-5Y)+5(-2X+3Y)&=3A+5B\\-X&=3A+5B\\X&=-3A-5B=-3\begin{pmatrix}8&-10\\6&-8\\-5&9\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}-5&6\\-4&5\\3&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{B+2X}{3}=\tfrac{1}{3}\!\left[\begin{pmatrix}-5&6\\-4&5\\3&-6\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-3&6\\0&3\\3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\\1&0\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\\1&0\end{pmatrix}\)

4Resuelve el sistema para matrices de orden 2×4, sabiendo que \(A\) y \(B\) son:

\[\begin{cases}4X+3Y=A\\X-2Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}4&-5&6&9\\5&9&-4&10\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&-4&-4&5\\4&-6&-1&-3\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}4&3\\1&-2\end{vmatrix}=-8-3=-11\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y sumando:

\[\begin{aligned}2(4X+3Y)+3(X-2Y)&=2A+3B\\11X&=2A+3B\\X&=\tfrac{1}{11}\!\left[2\begin{pmatrix}4&-5&6&9\\5&9&-4&10\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1&-4&-4&5\\4&-6&-1&-3\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{11}\begin{pmatrix}11&-22&0&33\\22&0&-11&11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2&0&3\\2&0&-1&1\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{X-B}{2}=\tfrac{1}{2}\!\left[\begin{pmatrix}1&-2&0&3\\2&0&-1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-4&-4&5\\4&-6&-1&-3\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&2&4&-2\\-2&6&0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&2&-1\\-1&3&0&2\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}1&-2&0&3\\2&0&-1&1\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&1&2&-1\\-1&3&0&2\end{pmatrix}\)

5Resuelve el sistema para matrices de orden 4×2, sabiendo que \(A\) y \(B\) son:

\[\begin{cases}3X+4Y=A\\5X-2Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}10&-3\\-4&17\\3&-1\\5&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}8&-5\\2&11\\5&7\\-9&-2\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}3&4\\5&-2\end{vmatrix}=-6-20=-26\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera (los coeficientes de \(Y\), 4 y \(-2\), se cancelan con un múltiplo menor que en los ejemplos anteriores):

\[\begin{aligned}(3X+4Y)+2(5X-2Y)&=A+2B\\13X&=A+2B\\X&=\tfrac{1}{13}\!\left[\begin{pmatrix}10&-3\\-4&17\\3&-1\\5&4\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}8&-5\\2&11\\5&7\\-9&-2\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{13}\begin{pmatrix}26&-13\\0&39\\13&13\\-13&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\\1&1\\-1&0\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{A-3X}{4}=\tfrac{1}{4}\!\left[\begin{pmatrix}10&-3\\-4&17\\3&-1\\5&4\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\\1&1\\-1&0\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{4}\begin{pmatrix}4&0\\-4&8\\0&-4\\8&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\\0&-1\\2&1\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\\1&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&0\\-1&2\\0&-1\\2&1\end{pmatrix}\)

6Resuelve el sistema para matrices fila de orden 1×4, sabiendo que \(A\) y \(B\) son:

\[\begin{cases}-3X+2Y=A\\4X-5Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}1&8&-2&-9\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-6&-13&5&12\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}-3&2\\4&-5\end{vmatrix}=15-8=7\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por 2, y sumando (atención a los signos):

\[\begin{aligned}5(-3X+2Y)+2(4X-5Y)&=5A+2B\\-7X&=5A+2B\\X&=-\tfrac{1}{7}\!\left[5\begin{pmatrix}1&8&-2&-9\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-6&-13&5&12\end{pmatrix}\right]=-\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}-7&14&0&-21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2&0&3\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{A+3X}{2}=\tfrac{1}{2}\!\left[\begin{pmatrix}1&8&-2&-9\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1&-2&0&3\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2&-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-1&0\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}1&-2&0&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}2&1&-1&0\end{pmatrix}\)

6. Ejercicios tipo PAU

Este tipo de sistema —calcular dos matrices incógnitas a partir de dos ecuaciones matriciales— aparece con frecuencia en las pruebas de acceso a la universidad (PAU/EBAU/Selectividad). Los siguientes ejercicios tienen el mismo nivel de dificultad y el mismo planteamiento que los que suelen proponerse en ese tipo de examen.

1Dadas las matrices \(A\) y \(B\), calcula las matrices \(X\) e \(Y\) que verifican el sistema:

\[\begin{cases}2X+Y=A\\X-3Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}7&1\\4&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&4\\2&-6\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-3\end{vmatrix}=-6-1=-7\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando con la segunda:

\[\begin{aligned}3(2X+Y)+(X-3Y)&=3A+B\\7X&=3A+B\\X&=\tfrac{1}{7}\!\left[3\begin{pmatrix}7&1\\4&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&4\\2&-6\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}21&7\\14&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=A-2X=\begin{pmatrix}7&1\\4&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&2\\4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\)

2Dadas las matrices \(A\) y \(B\), calcula las matrices \(X\) e \(Y\) que verifican el sistema:

\[\begin{cases}3X-Y=A\\X+2Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}6&-5\\4&8\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&3\\-1&5\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}3&-1\\1&2\end{vmatrix}=6+1=7\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando con la segunda:

\[\begin{aligned}2(3X-Y)+(X+2Y)&=2A+B\\7X&=2A+B\\X&=\tfrac{1}{7}\!\left[2\begin{pmatrix}6&-5\\4&8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&3\\-1&5\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{7}\begin{pmatrix}14&-7\\7&21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=\tfrac{B-X}{2}=\tfrac{1}{2}\!\left[\begin{pmatrix}2&3\\-1&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}\right]=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&4\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-1&1\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&2\\-1&1\end{pmatrix}\)

3Dadas las matrices \(A\) y \(B\) de orden 2×3, calcula las matrices \(X\) e \(Y\) que verifican el sistema:

\[\begin{cases}\tfrac{1}{3}X+2Y=A\\X-Y=B\end{cases}\quad A=\begin{pmatrix}3&-2&2\\2&5&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&1&-8\\6&1&10\end{pmatrix}\]

Determinante

\[\Delta=\begin{vmatrix}\tfrac{1}{3}&2\\1&-1\end{vmatrix}=-\tfrac{1}{3}-2=-\tfrac{7}{3}\neq 0\]

Eliminación de Y

Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando con la primera:

\[\begin{aligned}\left(\tfrac{1}{3}X+2Y\right)+2(X-Y)&=A+2B\\\tfrac{7}{3}X&=A+2B\\X&=\tfrac{3}{7}\!\left[\begin{pmatrix}3&-2&2\\2&5&1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2&1&-8\\6&1&10\end{pmatrix}\right]=\tfrac{3}{7}\begin{pmatrix}7&0&-14\\14&7&21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0&-6\\6&3&9\end{pmatrix}\end{aligned}\]

Obtención de Y

\[Y=X-B=\begin{pmatrix}3&0&-6\\6&3&9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1&-8\\6&1&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}\]

SOLUCIÓN: \(X=\begin{pmatrix}3&0&-6\\6&3&9\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}\)

7. Errores frecuentes

Usar matrices de distinta dimensión. Las sumas \(X+Y\), \(A+B\) etc. solo tienen sentido si todas las matrices tienen las mismas dimensiones.
Confundir coeficientes escalares con matrices. \(2X\) entra en este método; \(AX\) no.
Olvidar comprobar el determinante. Solo se garantiza solución única cuando \(\Delta\neq 0\).
Perder el signo al despejar la segunda incógnita por sustitución.

8. Qué admite la calculadora

Ecuaciones con \(X\) e \(Y\) en cualquier miembro, por ejemplo \(X+Y=A\) y \(B=2X-Y\).
Coeficientes enteros, decimales o fracciones: \(3X\), \(-Y\), \(\tfrac{1}{2}X\).
Términos independientes formados con matrices conocidas, como \(A+B\), \(C-D\) o \(A^t\).
Matrices de cualquier orden (cuadradas o no), siempre que todas tengan el mismo número de filas y columnas.

9. Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre si \(\Delta=0\)? Igual que en un sistema numérico, el sistema puede ser incompatible o tener infinitas soluciones; hay que sustituir y comprobar cada caso, ya que el determinante nulo no permite despejar directamente.
¿Puedo resolverlo por sustitución en vez de por combinación lineal? Sí. Cualquier método válido para sistemas numéricos (sustitución, igualación, reducción) funciona igual aquí, siempre que se respete el orden de la multiplicación si aparecieran productos entre matrices.
¿Y si el sistema tiene tres incógnitas matriciales en vez de dos? El razonamiento se generaliza, pero esta calculadora está pensada para dos incógnitas (\(X\) e \(Y\)). Con tres o más conviene plantear el sistema por bloques o resolverlo por eliminación sucesiva.
¿Las matrices \(C_1\) y \(C_2\) tienen que ser cuadradas? No. Solo necesitan tener las mismas dimensiones entre sí, ya que \(X\) e \(Y\) heredan esas dimensiones.
¿En qué se diferencia esto de una ecuación matricial "normal"? En una ecuación matricial como \(AX=B\), los coeficientes (\(A\)) son matrices. Aquí los coeficientes (\(a_1,b_1,a_2,b_2\)) son números, y por eso el sistema se resuelve por combinación lineal en vez de por inversión de matrices.

¿Listo para resolver tu propio sistema? Introduce las ecuaciones y las matrices en la calculadora y obtén la solución paso a paso al instante.

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